几何原本·卷一·平面几何基础 - 动画演示

(几何原本, Part 1)

前言

花了近一年时间，把《几何原本》卷一的 48 个命题用 manim 做成了动画视频，每个命题一个短片，从作图步骤到证明过程完整演示。

《几何原本》卷一讨论的是平面几何的基础。欧几里得从定义、公设和公理出发，用 48 个命题一步步建立起直线、三角形、平行线、平行四边形和面积关系。它的意义不只在于讲了哪些几何知识，更在于展示了一套影响深远的推理方式：先承认极少数基本事实，再通过严格证明推出越来越复杂的结论。

这 48 个命题的推进很有层次。前十二个命题主要处理基本作图，包括作等边三角形、截取相等线段、平分角与线段、作垂线；命题 13 到 26 转向三角形的角、边、全等和大小关系；命题 27 到 34 建立平行线理论，并证明三角形内角和以及平行四边形的基本性质；命题 35 到 45 讨论图形面积相等与等积变换；命题 46 作出正方形，最后以命题 47 的毕达哥拉斯定理和命题 48 的逆定理收尾。

这些结论今天看来大多是中学几何知识，但重新沿着《几何原本》的顺序走一遍，仍然很有意思。前面的每一次作图和证明，都会成为后面命题的工具。勾股定理并不是突然出现的孤立结论，而是建立在之前四十多个命题形成的体系之上。

原始合集：几何原本·卷一·平面几何基础

命题1 在给定的有限直线上构造一个等边三角形

命题2 从给定的点作一条直线等于给定的直线

命题3 在长的线段上截取一条线段使它等于另一条线段

命题4 两边及其夹角对应相等，则三角形全等 (SAS)

命题5 等腰三角形的两底角相等

命题6 两角相等的三角形，等角所对的边也相等

命题7 从线段两端点引两线交于一点，不能再作等长的两线交于同侧另一点

命题8 三边对应相等，则三角形全等 (SSS)

命题9 二等分一个给定的角

命题10 二等分线段

命题11 过点向直线作垂线

命题12 过直线外点向直线作垂线

命题13 一直线与另一直线相交所成的角，为两直角或和等于两直角

命题14 邻角和为两直角的两直线共线

命题15 两直线相交，对顶角相等

命题16 三角形外角大于任一内对角

命题17 任何两角之和小于两直角和

命题18 三角形大边对大角

命题19 三角形大角对大边

命题20 三角形任意两边之和大于第三边

命题21 由三角形一边两端点向内作两条相交线段，线段和小于另两边和，所成角大于对应角

命题22 以三条已知线段为三边作三角形

命题23 在已知直线和它上面的一点，作一个直线角等于已知直线角

命题24 两三角形中两边对应相等，夹角大者所对的边也较大

命题25 两三角形中两边对应相等，第三边较大者所对的角也较大

命题26 两三角形中两角对应相等，且一边对应相等，则其余边角也对应相等

命题27 一条直线与两条直线相交，若内错角相等，则两直线平行

命题28 一条直线与两条直线相交，若同位角相等或同旁内角之和等于两直角，则两直线平行

命题29 一条直线与两条平行线相交，则内错角相等、同位角相等，且同旁内角之和等于两直角

命题30 平行于同一条直线的直线相互平行

命题31 过给定点，作一条直线与已知直线平行

命题32 三角形一边延长所得外角等于两个内对角之和，且三内角和等于两直角

命题33 在同一方向连接平行且相等的线段，连成的线段相互平行且相等

命题34 平行四边形的对边对角彼此相等，且对角线二等分平行四边形

命题35 同底且在相同平行线之间的平行四边形彼此相等

命题36 在等底上且在相同平行线之间的平行四边形彼此相等

命题37 在同底上且在相同平行线之间的三角形彼此相等

命题38 在等底上且在相同平行线之间的三角形彼此相等

命题39 在同底上且在底的同一侧的相等三角形在相同的平行线之间

命题40 在等底上且在底的同一侧的相等三角形在相同的平行线之间

命题41 如果平行四边形和三角形既同底又在相同的平行线之间，那么平行四边形是三角形的二倍

命题42 用已知直线角作平行四边形，使它等于已知三角形

命题43 在任意平行四边形中，对角线两侧的平行四边形的补形彼此相等

命题44 用已知线段及已知直线角作一个平行四边形，使它等于已知三角形

命题45 用一个已知直线角作一个平行四边形，使它等于已知直线形

命题46 在已知线段上作正方形

命题47 毕达哥拉斯定理 勾股定理

命题48 毕达哥拉斯定理的逆定理